微分積分例

$10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

ステップ 1.2

$10000$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10000$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- 2500 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2500$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2500 x$ の微分係数は $- 2500 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2500 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2500 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

ステップ 2.3

$- 2500$ に $1$ をかけます。

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{16 + x^{2}}$ を ${(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$3750$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$0 - 2500 + 3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 16 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $16 + x^{2}$ とします。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

ステップ 3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $16 + x^{2}$ で置き換えます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

ステップ 3.4

総和則では、 $16 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 3.5

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))$

ステップ 3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))$

ステップ 3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))$

ステップ 3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))$

ステップ 3.12

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))$

ステップ 3.13

$\frac{1}{2}$ と ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))$

ステップ 3.14

$2$ と $\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

ステップ 3.15

$\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

ステップ 3.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.17

共通因数を約分します。

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.18

式を書き換えます。

$0 - 2500 + 3750 \frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.19

$3750$ と $\frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$0 - 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$0$ から $2500$ を引きます。

$- 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2500$

微分積分 例

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