微分積分例

$2 \cos^{3} (e^{2 x})$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos^{3} (e^{2 x})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (e^{2 x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (e^{2 x})$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (e^{2 x})$ で置き換えます。

$2 (3 \cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

ステップ 3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 (\cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

ステップ 4

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{2 x}$ とします。

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{2 x}$ で置き換えます。

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 6

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

ステップ 7.4.2

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$- 12 e^{2 x} \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x})$

微分積分 例

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