微分積分例

$1 - \arctan (e^{x})$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $1 - \arctan (e^{x})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

ステップ 1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \arctan (e^{x})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x}$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} e^{x})$

ステップ 2.4

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} e^{x})$

ステップ 2.4.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x})$

ステップ 2.5

$\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$0 - \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 3

$0$ から $\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$ を引きます。

$- \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

微分積分 例