微分積分例

$\frac{x - 3}{x^{3} - 27}$

ステップ 1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = x^{3} - 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 27) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{(x^{3} - 27) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 27) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{3} - 27) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{3} - 27) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$x^{3} - 27$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{3} - 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ です。

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27])}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27])}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 27$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2})}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x - 3) x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} - 27 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x^{2} x) - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{2 + 1} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{3} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{3} + 9 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$x^{3}$ から $3 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{3} - 27 + 9 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x^{3} + 9 x^{2} - 27}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例