微分積分例

$\frac{x - 4}{x^{2} - 3 x - 4}$

ステップ 1

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = x^{2} - 3 x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$x^{2} - 3 x - 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{2} - 3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.10

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 2.11

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x - - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x + 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 4) (2 x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.5

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.6

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.2

$3 x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 3 x - 4 + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 3 x$ と $11 x$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + 8 x - 4 - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 4$ から $12$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 8 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3

群による因数分解。

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ステップ 3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} + 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$8$ を $4$ プラス $4$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (4 + 4) x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x + 4) - 4 (- x + 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

最大公約数 $- x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 3.4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{((x - 4) (x + 1))}^{2}}$

ステップ 3.4.2

積の法則を $(x - 4) (x + 1)$ に当てはめます。

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.4

$- (x - 4)$ を $- 1 (x - 4)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.5

$x - 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} (x - 4))}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.6

$x - 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1})}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

${(x - 4)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例