微分積分例

$\frac{x + 6}{\sqrt{x^{2} + 6}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 6}$ を ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = x + 6$ および $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

ステップ 5.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

ステップ 5.4.2

${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

ステップ 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + 6$ とします。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + 6$ で置き換えます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

ステップ 12

総和則では、 $x^{2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

ステップ 13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

ステップ 14

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 6}$

ステップ 15

項を簡約します。

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ステップ 15.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 6}$

ステップ 15.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 6}$

ステップ 15.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 15.4

共通因数を約分します。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 15.5

式を書き換えます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$u_{2} = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$u_{2}$ に $u_{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- x - 6) x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x \cdot x - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - (x \cdot x) - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x^{2} - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.2

$u_{2}$ のすべての発生を ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{\frac{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1.1

${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{1} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.3.1.2

簡約します。

$\frac{\frac{x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.3.2

$x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{0 + 6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.3.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$\frac{\frac{6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.4

$6$ を $6 - 6 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.4.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{\frac{6 (1) - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.4.2

$6$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{6 (1) + 6 (- x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.2.4.3

$6$ を $6 (1) + 6 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$ を積として書き換えます。

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6}$

ステップ 16.3.2

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{2} + 6}$ をかけます。

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6)}$

ステップ 16.3.3

指数を足して ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.3.1

${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 6$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.3.1.1

$x^{2} + 6$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6)}^{1}}$

ステップ 16.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 16.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 16.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 16.3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例