微分積分例

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = t x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t x$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $t x$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 2.2

$t$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $t x$ の微分係数は $t \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 2.4

$t$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

ステップ 3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

ステップ 3.5

$3 t$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 t x^{2}$ の微分係数は $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

ステップ 3.7

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $t x$ に当てはめます。

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

ステップ 4.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$

微分積分 例

微分積分例