微分積分例

$x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3} + \frac{3}{x y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

ステップ 1.3

$y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{3}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x y}$ の微分係数は $\frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 0 + \frac{3}{y} (- x^{- 2})$

ステップ 2.4

$\frac{3}{y}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$3 x^{2} + 0 - \frac{3 x^{- 2}}{y}$

ステップ 2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$3 x^{2} + 0 - \frac{3}{y x^{2}}$

ステップ 3

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - \frac{3}{y x^{2}}$

微分積分 例