微分積分例

$x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 3$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 3$ で置き換えます。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$x^{3} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 7.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 11.2

$2$ と $\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 11.3

$\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x^{3} x}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 14

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 15

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 x^{2})$

ステップ 16

$3$ を ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$

ステップ 17

公分母を利用して $\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ と $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$ を組み合わせます。

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ステップ 17.1

${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 17.2

$3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.3

$3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19

指数を足して ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 19.1

${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 20

$9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21

簡約します。

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ステップ 21.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.2

分子を簡約します。

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ステップ 21.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 21.2.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 21.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.2.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.2.1.2

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.2.2

$2 x^{4}$ と $9 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{11 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3

$x^{2}$ を $11 x^{4} + 27 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 21.3.1

$x^{2}$ を $11 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3.2

$x^{2}$ を $27 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 21.3.3

$x^{2}$ を $x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (11 x^{2} + 27)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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