微分積分例

$x^{2} \arctan (e^{x})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \arctan (e^{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x}$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

分数をまとめます。

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ステップ 3.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} e^{x} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) (2 x)$

ステップ 6

$\arctan (e^{x}) (2 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{\arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 8.2.2

$x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 x e^{2 x} \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x^{2} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 e^{2 x} x \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$

微分積分 例

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