微分積分例

$x^{2} \sqrt{6 x - 9}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 x - 9}$ を ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 6 x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x - 9$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $6 x - 9$ で置き換えます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{2} (\frac{{(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x^{2} (\frac{1}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 9] + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 9

総和則では、 $6 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 10

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 12

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 13

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 14

項を簡約します。

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ステップ 14.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6 + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 14.2

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 6}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 14.3

$6$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 14.4

$2$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 15

共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

$2$ を $2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 ({(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}})} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 15.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 15.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

ステップ 17

$2$ を ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} x$

ステップ 18

公分母を利用して $\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} x$ を組み合わせます。

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ステップ 18.1

${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18.2

$2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

指数を足して ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 19.1

${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2} + 2 x ({(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{1}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

$2 x {(6 x - 9)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{3 x^{2} + 2 x (6 x - 9)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

簡約します。

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ステップ 21.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} + 2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.2

分子を簡約します。

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ステップ 21.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 21.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 21.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.2.1.3

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} + 12 x^{2} + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.2.1.4

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} + 12 x^{2} - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.2.2

$3 x^{2}$ と $12 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{15 x^{2} - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.3

$3 x$ を $15 x^{2} - 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 21.3.1

$3 x$ を $15 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 x (5 x) - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.3.2

$3 x$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x (5 x) + 3 x (- 6)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.3.3

$3 x$ を $3 x (5 x) + 3 x (- 6)$ で因数分解します。

$\frac{3 x (5 x - 6)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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