微分積分例

$x^{2} {(6 - x)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 6 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 - x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $6 - x$ で置き換えます。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $6 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

ステップ 3.9

$2$ を ${(6 - x)}^{3}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x {(6 - x)}^{2}$ を $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x {(6 - x)}^{2}$ を $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ で因数分解します。

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

ステップ 4.1.2

$x {(6 - x)}^{2}$ を $2 {(6 - x)}^{3} x$ で因数分解します。

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

ステップ 4.1.3

$x {(6 - x)}^{2}$ を $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ で因数分解します。

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

ステップ 4.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.3

${(6 - x)}^{2}$ を $(6 - x) (6 - x)$ に書き換えます。

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(6 - x) (6 - x)$ を展開します。

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ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.4.3

分配則を当てはめます。

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.5.2

$- 6 x$ から $6 x$ を引きます。

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.6

分配則を当てはめます。

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$36$ を $x$ の左に移動させます。

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.7.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.3.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.7.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.7.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.8

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$x$ を移動させます。

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

ステップ 4.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

分配則を当てはめます。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

ステップ 4.9.2

$2$ に $6$ をかけます。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

ステップ 4.9.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

ステップ 4.10

$- 3 x$ から $2 x$ を引きます。

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

ステップ 4.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ を展開します。

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.2.1

$x$ を移動させます。

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.3

$36$ に $- 5$ をかけます。

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.4

$12$ に $36$ をかけます。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.6.1

$x$ を移動させます。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.7

$- 12$ に $- 5$ をかけます。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.8

$12$ に $- 12$ をかけます。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.10

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.10.1

$x$ を移動させます。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.10.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.10.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.10.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

ステップ 4.12.11

$12$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

ステップ 4.13

$- 180 x^{2}$ から $144 x^{2}$ を引きます。

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

ステップ 4.14

$60 x^{3}$ と $12 x^{3}$ をたし算します。

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

微分積分 例

微分積分例