微分積分例

$f (x) = (2 x + 1) \cos (x)$

ステップ 1

$f (x) = 2 x + 1$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 2$

ステップ 3.6.2

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 x (- \sin (x)) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 x \sin (x) - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 4.2.3

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$- 2 x \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x)$

微分積分 例

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