微分積分例

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}} (5 - u^{6})]$

ステップ 2

$f (u) = u^{\frac{1}{2}}$ および $g (u) = 5 - u^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ は $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $5 - u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ です。

$u^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$5$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$u^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ をたし算します。

$u^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [- u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $- u^{6}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ です。

$u^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.5

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$u^{\frac{1}{2}} (- (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.6

$6$ に $- 1$ をかけます。

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

指数を足して $u^{\frac{1}{2}}$ に $u^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u^{5}$ を移動させます。

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.4

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$5$ に $2$ をかけます。

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.6.2

$10$ と $1$ をたし算します。

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$- 6$ を $u^{\frac{11}{2}}$ の左に移動させます。

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $u^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2

項をまとめます。

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ステップ 14.2.1

$5$ と $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2.2

$\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ と $u^{6}$ をまとめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.4

指数を足して $u^{6}$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.2.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.4.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.4.3

$6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 14.2.4.5.1

$6$ に $2$ をかけます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.4.5.2

$12$ から $1$ を引きます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

ステップ 14.2.5

$- 6 u^{\frac{11}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2.6

$- 6 u^{\frac{11}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2.8

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2.9

$- 12 u^{\frac{11}{2}}$ から $u^{\frac{11}{2}}$ を引きます。

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

項を並べ替えます。

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$

微分積分 例

微分積分例