微分積分例

$f (s) = \frac{\sqrt{s} - 1}{\sqrt{s} + 1}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{s}$ を $s^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{s} + 1}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{s}$ を $s^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{1}{2}} + 1}]$

ステップ 2

$f (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ および $g (s) = s^{\frac{1}{2}} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ は $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $s^{\frac{1}{2}} - 1$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ です。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $s^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $s^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 9

$- 1$ は $s$ について定数なので、 $s$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 10

$\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 11

総和則では、 $s^{\frac{1}{2}} + 1$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [1]$ です。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 12

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 14

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 16

分子を簡約します。

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ステップ 16.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 16.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 17

分数をまとめます。

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ステップ 17.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 17.2

$\frac{1}{2}$ と $s^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 17.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $s^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 18

$1$ は $s$ について定数なので、 $s$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 19

$\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.2

分配則を当てはめます。

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + (- s^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.3

分配則を当てはめます。

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4

分子を簡約します。

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ステップ 20.4.1

$s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 20.4.1.1

$s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ から $s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.1.2

$1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 20.4.2.1

$\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.2.3

$\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 + 1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.4.6

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.5

項をまとめます。

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ステップ 20.5.1

$\frac{\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 20.5.2

$\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{s^{\frac{1}{2}} {(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例