微分積分例

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{1}{2} \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 3}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + t)}^{- 3}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 3}$ および $g (t) = 3 t^{2} + t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 t^{2} + t$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

ステップ 2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 t^{2} + t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- 3 {(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2} ({(3 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t])$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ と $\frac{- 3}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(3 t^{2} + t)}^{- 4} \cdot - 3}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

ステップ 3.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 3$ を ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 \cdot {(3 t^{2} + t)}^{- 4}}{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

ステップ 3.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 t^{2} + t)}^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

ステップ 3.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + t]$

ステップ 3.3

総和則では、 $3 t^{2} + t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.6

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$

ステップ 3.8

$- \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}} (6 t + 1)$ の因数を並べ替えます。

$- (6 t + 1) \frac{3}{2 {(3 t^{2} + t)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例