微分積分例

$f (t) = \frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{5}{t^{3}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{t^{3}}$ を ${(t^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $t^{3}$ とします。

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $t^{3}$ で置き換えます。

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.5

${(t^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$5 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.7

指数を足して $t^{- 6}$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1

$t^{2}$ を移動させます。

$5 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$5 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 2.8

$- 3$ に $5$ をかけます。

$- 15 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{4}{t^{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ です。

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{t^{2}}$ を ${(t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t^{2}$ とします。

$- 15 t^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.5

${(t^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.7

$t$ を $1$ 乗します。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 3.10

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{t}$ を $t^{- 1}$ に書き換えます。

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - t^{- 2}$

ステップ 7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

項をまとめます。

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ステップ 8.1.1

$- 15$ と $\frac{1}{t^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

ステップ 8.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

ステップ 8.1.3

$8$ と $\frac{1}{t^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{15}{t^{4}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{15}{t^{4}}$

微分積分 例

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