微分積分例

$f (t) = \frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$25000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{25000}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ の微分係数は $25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$ です。

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.54 t}}$ を ${(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}$ に書き換えます。

$25000 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.54 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ とします。

$25000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ で置き換えます。

$25000 (- {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $25000$ をかけます。

$- 25000 ({(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.54 t}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + 11 e^{- 0.54 t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ です。

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

ステップ 3.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$ をたし算します。

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.54 t}]$

ステップ 3.5

$11$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $11 e^{- 0.54 t}$ の微分係数は $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$ です。

$- 25000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}])$

ステップ 3.6

$11$ に $- 25000$ をかけます。

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.54 t}]$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - 0.54 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 0.54 t$ とします。

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 0.54 t$ で置き換えます。

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \frac{d}{d t} [- 0.54 t])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 0.54$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 0.54 t$ の微分係数は $- 0.54 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 275000 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (- 0.54 \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.2

$- 0.54$ に $- 275000$ をかけます。

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} (e^{- 0.54 t} \cdot 1)$

ステップ 5.4

$e^{- 0.54 t}$ に $1$ をかけます。

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$148500 {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2} e^{- 0.54 t}$ の因数を並べ替えます。

$148500 e^{- 0.54 t} {(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{- 2}$

ステップ 6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$

ステップ 6.3

$148500 e^{- 0.54 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ と $148500$ をまとめます。

$\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}} e^{- 0.54 t}$

ステップ 6.3.2

$\frac{148500}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$ と $e^{- 0.54 t}$ をまとめます。

$\frac{148500 e^{- 0.54 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.54 t})}^{2}}$

微分積分 例

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