微分積分例

$f (t) = - 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

ステップ 1

$- 3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 3 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{8} - 1)}^{7}] + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3

$f (t) = t^{7}$ および $g (t) = 5 t^{8} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 t^{8} - 1$ とします。

$- 3 (t (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (t (7 u^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 t^{8} - 1$ で置き換えます。

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $5 t^{8} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t^{8}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ です。

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.3

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.4

$8$ に $5$ をかけます。

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + 0)) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$40 t^{7}$ と $0$ をたし算します。

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7})) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.6.2

$40$ に $7$ をかけます。

$- 3 (t (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6} t^{7}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5

$t$ を $1$ 乗します。

$- 3 (t^{7} t^{1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 (t^{7 + 1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 7

$7$ と $1$ をたし算します。

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \cdot 1)$

ステップ 9

${(5 t^{8} - 1)}^{7}$ に $1$ をかけます。

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

ステップ 10.2

$280$ に $- 3$ をかけます。

$- 840 (t^{8} ({(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

ステップ 10.3

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ を $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6} - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ で因数分解します。

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ステップ 10.3.1

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ を $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ で因数分解します。

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

ステップ 10.3.2

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ を $- 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ で因数分解します。

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$

ステップ 10.3.3

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ を $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$ で因数分解します。

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8} - (5 t^{8} - 1))$

微分積分 例

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