微分積分例

$f (t) = \sqrt{\cos (3 t)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\cos (3 t)}$ を ${\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [{\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = \cos (3 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (3 t)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (3 t)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

ステップ 8

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 t$ とします。

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 8.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ と $\sin (3 t)$ をまとめます。

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 9.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 9.3

分数をまとめます。

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ステップ 9.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.3.2

$- 3$ と $\frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 9.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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