微分積分例

$f (t) = \tan (e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)}$

ステップ 1

総和則では、 $\tan (e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (t) = \tan (t)$ および $g (t) = e^{3 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{3 t}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{3 t}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 t$ とします。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 2.6

$3$ を $e^{3 t}$ の左に移動させます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = \tan (3 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\tan (3 t)$ とします。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

ステップ 3.1.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\tan (3 t)$ で置き換えます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

ステップ 3.2

$f (t) = \tan (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $3 t$ とします。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 3.2.2

$u_{4}$ に関する $\tan (u_{4})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{4})$ です。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 3.2.3

$u_{4}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 3.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) (3 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) \cdot 3)$

ステップ 3.6

$3$ を $\sec^{2} (3 t)$ の左に移動させます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (3 \cdot \sec^{2} (3 t))$

ステップ 3.7

$3$ を $e^{\tan (3 t)}$ の左に移動させます。

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + 3 e^{\tan (3 t)} \sec^{2} (3 t)$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$3 e^{3 t} \sec^{2} (e^{3 t}) + 3 e^{\tan (3 t)} \sec^{2} (3 t)$

微分積分 例

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