微分積分例

$\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$

ステップ 1

$e^{2 θ}$ と $\sin (3 θ)$ を並べ替えます。

$\int \sin (3 θ) e^{2 θ} d θ$

ステップ 2

$u = \sin (3 θ)$ と $d v = e^{2 θ}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (3 \cos (3 θ)) d θ$

ステップ 3

$\frac{1}{2} \cdot 3$ は $θ$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 3$ を積分の外に移動させます。

$\sin (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

ステップ 4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 θ}$ をまとめます。

$\sin (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

ステップ 4.2

$\sin (3 θ)$ と $\frac{e^{2 θ}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 θ} (\cos (3 θ)) d θ)$

ステップ 4.4

$e^{2 θ}$ と $\cos (3 θ)$ を並べ替えます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} \int \cos (3 θ) e^{2 θ} d θ)$

ステップ 5

$u = \cos (3 θ)$ と $d v = e^{2 θ}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 3 \sin (3 θ)) d θ))$

ステップ 6

$\frac{1}{2} \cdot - 3$ は $θ$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot - 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 θ}$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\cos (3 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

ステップ 7.2

$\cos (3 θ)$ と $\frac{e^{2 θ}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 3 \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)))$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

ステップ 7.5

$\frac{\cos (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

ステップ 7.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} (- (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ))$

ステップ 7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + 1 (\frac{3}{2}) (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

ステップ 7.6.3

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{3}{2} (\frac{- 3}{2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ)$

ステップ 7.7

$\frac{- 3}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

ステップ 7.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4} + \frac{- 9}{4} \int e^{2 θ} (\sin (3 θ)) d θ$

ステップ 8

$\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ を解くと、 $\int e^{2 θ} \sin (3 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) e^{2 θ} \cdot 3}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$3$ を $\cos (3 θ) e^{2 θ}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cdot (\cos (3 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{13}{4}} + C$

ステップ 9.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{13}{4}$ で割ります。

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.2

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3 \cos (3 θ) e^{2 θ}}{4}) \frac{4}{13} + C$ を $(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$ に書き換えます。

$(\frac{1}{2} \sin (3 θ) e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (3 θ)$ をまとめます。

$(\frac{\sin (3 θ)}{2} e^{2 θ} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.3.2

$\frac{\sin (3 θ)}{2}$ と $e^{2 θ}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{3}{4} \cos (3 θ) e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.3.3

$\cos (3 θ)$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4} e^{2 θ}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.3.4

$e^{2 θ}$ と $\frac{\cos (3 θ) \cdot 3}{4}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.3.5

$3$ を $\cos (3 θ)$ の左に移動させます。

$(\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$\frac{\sin (3 θ) e^{2 θ}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

書き換えます。

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (\cos (3 θ) \cdot 3)}{4}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.4.2.2

$3$ を $\cos (3 θ)$ の左に移動させます。

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} (3 \cdot \cos (3 θ))}{4}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.4.2.3

不要な括弧を削除します。

$(\frac{e^{2 θ} \sin (3 θ)}{2} - \frac{e^{2 θ} \cdot 3 \cos (3 θ)}{4}) \frac{4}{13} + C$

ステップ 9.4.3

$3$ を $e^{2 θ}$ の左に移動させます。

$(\frac{1}{2} e^{2 θ} \sin (3 θ) - \frac{3}{4} e^{2 θ} \cos (3 θ)) \frac{4}{13} + C$

微分積分 例

微分積分例