微分積分例

$f (x) = {(x^{2} + \cos (x))}^{5}$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{2} + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + \cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + \cos (x)]$

ステップ 1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + \cos (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + \cos (x)$ で置き換えます。

$5 {(x^{2} + \cos (x))}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + \cos (x)]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$5 {(x^{2} + \cos (x))}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(x^{2} + \cos (x))}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 {(x^{2} + \cos (x))}^{4} (2 x - \sin (x))$

微分積分 例