微分積分例

$y = \sqrt[5]{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x}$ を $x^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

ステップ 1.6.2

$1$ から $5$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

ステップ 1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

ステップ 1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ を ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5} \cdot - 1})$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{4}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$\frac{4}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}})$

ステップ 2.2.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{5}})$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{5}})$

ステップ 2.3

$n = - \frac{4}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

ステップ 2.7.2

$- 4$ から $5$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{9}{5}}$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

ステップ 2.10

$\frac{1}{5}$ に $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5 \cdot 5}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$5$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{25}$

ステップ 2.11.2

$4$ を $x^{- \frac{9}{5}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

ステップ 2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{9}{5}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{4}{25}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ の微分係数は $- \frac{4}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}]$ です。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$ を ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$

ステップ 3.2.2

${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{5} \cdot - 1}$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{9}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$\frac{9}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9 \cdot - 1}{5}}$

ステップ 3.2.2.2.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 9}{5}}$

ステップ 3.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{9}{5}}$

ステップ 3.3

$n = - \frac{9}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 5}{5}})$

ステップ 3.7.2

$- 9$ から $5$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 14}{5}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{14}{5}})$

ステップ 3.9

$x^{- \frac{14}{5}}$ と $\frac{9}{5}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5})$

ステップ 3.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = 1 (\frac{4}{25}) \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

ステップ 3.10.2

$\frac{4}{25}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{4}{25} \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

ステップ 3.11

$\frac{4}{25}$ に $\frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{4 (x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9)}{25 \cdot 5}$

ステップ 3.12

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$9$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{25 \cdot 5}$

ステップ 3.12.2

$25$ に $5$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{125}$

ステップ 3.12.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{14}{5}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = \frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{36}{125}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$ の微分係数は $\frac{36}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}})$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}$ を ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1})$

ステップ 4.2.2

${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14}{5} \cdot - 1})$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{14}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$\frac{14}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14 \cdot - 1}{5}})$

ステップ 4.2.2.2.2

$14$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 14}{5}})$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{14}{5}})$

ステップ 4.3

$n = - \frac{14}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 5}{5}})$

ステップ 4.7.2

$- 14$ から $5$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 19}{5}})$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{19}{5}})$

ステップ 4.9

$x^{- \frac{19}{5}}$ と $\frac{14}{5}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5})$

ステップ 4.10

$\frac{36}{125}$ に $\frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5}$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{36 (x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14)}{125 \cdot 5}$

ステップ 4.11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$14$ に $36$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{125 \cdot 5}$

ステップ 4.11.2

$125$ に $5$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{625}$

ステップ 4.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{19}{5}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{504}{625 x^{\frac{19}{5}}}$

微分積分 例

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