微分積分例

$f (x) = (4 x - 2) e^{2 x}$

ステップ 1

$f (x) = 4 x - 2$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$(4 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(4 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$(4 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$(4 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 3.3.2

$2$ を $(4 x - 2) e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 \cdot ((4 x - 2) e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

ステップ 3.4

総和則では、 $4 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 3.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 3.7

$4$ に $1$ をかけます。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 3.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + 0)$

ステップ 3.9

式を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 4$

ステップ 3.9.2

$4$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + 4 \cdot e^{2 x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(2 (4 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$2 (4 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$8 x e^{2 x} - 4 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

ステップ 4.3.3

$- 4 e^{2 x}$ と $4 e^{2 x}$ をたし算します。

$8 x e^{2 x} + 0$

ステップ 4.3.4

$8 x e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$8 x e^{2 x}$

ステップ 4.4

$8 x e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$8 e^{2 x} x$

ステップ 4.5

$8 e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$8 x e^{2 x}$

微分積分 例

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