微分積分例

$f (x) = \csc^{4} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \csc (2 x^{2} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\csc (2 x^{2} + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\csc (2 x^{2} + 1)$ で置き換えます。

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

ステップ 2

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 2 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{2} + 1$ とします。

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\csc (u_{2})$ の微分係数は $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ です。

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{2} + 1$ で置き換えます。

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 4

$\csc (2 x^{2} + 1)$ を $1$ 乗します。

$- 4 (\csc^{1} (2 x^{2} + 1) \csc^{3} (2 x^{2} + 1)) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 {\csc (2 x^{2} + 1)}^{1 + 3} (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 6

$1$ と $3$ をたし算します。

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

ステップ 7

総和則では、 $2 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$2$ に $2$ をかけます。

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + 0)$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x)$

ステップ 12.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$

ステップ 12.3

$- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$- 16 x \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1)$

微分積分 例

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