微分積分例

$y = \frac{3 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = 3 x^{2} - 9 x + 11$ および $g (x) = 2 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 9 x + 11] - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 9 x + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(2 x + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{(2 x + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$- 9$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 + 0) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$6 x - 9$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

総和則では、 $2 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.13

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.14

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.15.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.15.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - 2 (3 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 4) (6 x - 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (6 x - 9) + 4 (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.1.3

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.1.4

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.1.5

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 24 x + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.1.6

$4$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 24 x - 36 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$- 18 x$ と $24 x$ をたし算します。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 9$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.5

$- 2$ に $11$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$12 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$\frac{6 x^{2} + 6 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.3

$6 x$ と $18 x$ をたし算します。

$\frac{6 x^{2} + 24 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.4

$- 36$ から $22$ を引きます。

$\frac{6 x^{2} + 24 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$2$ を $6 x^{2} + 24 x - 58$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 24 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

$2$ を $24 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (12 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ を $- 58$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.4

$2$ を $2 (3 x^{2}) + 2 (12 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.5

$2$ を $2 (3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 29)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$2$ を $2 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

積の法則を $2 (x + 2)$ に当てはめます。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$2$ を $4 {(x + 2)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

ステップ 3.3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

ステップ 3.3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例