微分積分例

$f (x) = {(4 - e^{- 3 x})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 4 - e^{- 3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 - e^{- 3 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [4 - e^{- 3 x}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [4 - e^{- 3 x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 - e^{- 3 x}$ で置き換えます。

$3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - e^{- 3 x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 - e^{- 3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- e^{- 3 x}]$ です。

$3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- e^{- 3 x}])$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- 3 x}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{- 3 x}]$ をたし算します。

$3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} [- e^{- 3 x}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- 3 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ です。

$3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (- \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

ステップ 2.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 3 x$ とします。

$- 3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$- 3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.2

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$9 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$e^{- 3 x}$ に $1$ をかけます。

$9 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}$

ステップ 4.4.2

$9 {(4 - e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$9 e^{- 3 x} {(4 - e^{- 3 x})}^{2}$

微分積分 例

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