微分積分例

$f (x) = {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{10}$

ステップ 1

$f (x) = {(x + 5)}^{7}$ および $g (x) = {(4 x - 1)}^{10}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{10}] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{10}$ および $g (x) = 4 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x - 1$ とします。

${(x + 5)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 2.2

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(x + 5)}^{7} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x - 1$ で置き換えます。

${(x + 5)}^{7} (10 {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$10$ を ${(x + 5)}^{7}$ の左に移動させます。

$10 \cdot {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$10 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 3.7.2

$4$ に $10$ をかけます。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{7}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 5$ とします。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 4.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + {(4 x - 1)}^{10} (7 {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$7$ を ${(4 x - 1)}^{10}$ の左に移動させます。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 \cdot {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 5]$

ステップ 5.2

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} (1 + 0)$

ステップ 5.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6} \cdot 1$

ステップ 5.5.2

$7$ に $1$ をかけます。

$40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ を $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9} + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ を $40 {(x + 5)}^{7} {(4 x - 1)}^{9}$ で因数分解します。

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + 7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$

ステップ 6.1.2

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ を $7 {(4 x - 1)}^{10} {(x + 5)}^{6}$ で因数分解します。

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$

ステップ 6.1.3

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9}$ を ${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5)) + {(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (7 (4 x - 1))$ で因数分解します。

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$

ステップ 6.2

${(x + 5)}^{6} {(4 x - 1)}^{9} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$ の因数を並べ替えます。

${(4 x - 1)}^{9} {(x + 5)}^{6} (40 (x + 5) + 7 (4 x - 1))$

微分積分 例

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