微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{9 + 4 x}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 9 + 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(9 + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(9 + 4 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $9 + 4 x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $9 + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [4 x]$ をたし算します。

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \cdot 1}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.9

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (4 x)) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 9 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{18 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{18 x + 2 (4 (x \cdot x)) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{18 x + 2 (4 x^{2}) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{18 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$8 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{18 x + 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{4 x^{2} + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.5

$2 x$ を $4 x^{2} + 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1

$2 x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (2 x) + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$2 x$ を $18 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$2 x$ を $2 x (2 x) + 2 x (9)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (2 x + 9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

微分積分 例

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