微分積分例

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = \log_{9} (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\log_{9} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (9)}$ です。

$\frac{x^{3} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x \ln (9)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{3}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x$ を $x \ln (9)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5

$\frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$ に $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ をかけます。

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

まとめる。

$\frac{\ln (9) (\frac{x^{2}}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 6.3

$\ln (9)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (9) \frac{x^{2}}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x) (3 x^{2}))}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- 3 \log_{9} (x) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \log_{9} (x)$ を簡約します。

$\frac{x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 9.1.2

$x^{2} + \ln (9) (- \log_{9} (x^{3}) x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{\ln (9) x^{6}}$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

ステップ 9.3

$x^{2}$ を $x^{2} - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{2} \cdot 1 - x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})}{x^{6} \ln (9)}$

ステップ 9.3.2

$x^{2}$ を $- x^{2} \ln (9) \log_{9} (x^{3})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

ステップ 9.3.3

$x^{2}$ を $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \ln (9) \log_{9} (x^{3}))$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) \log_{9} (x^{3}))}{x^{6} \ln (9)}$

ステップ 9.4

$3$ を対数の外に移動させて、 $\log_{9} (x^{3})$ を展開します。

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{6} \ln (9)}$

ステップ 9.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$x^{2}$ を $x^{6} \ln (9)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x)))}{x^{2} (x^{4} \ln (9))}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - \ln (9) (3 \log_{9} (x))}{x^{4} \ln (9)}$

ステップ 9.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - 3 \ln (9) \log_{9} (x)}{x^{4} \ln (9)}$

微分積分 例

微分積分例