微分積分例

$f (x) = \frac{\log_{7} (x)}{x^{4}}$

ステップ 1

$f (x) = \log_{7} (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\log_{7} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (7)}$ です。

$\frac{x^{4} \frac{1}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{x \ln (7)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{4}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 4.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $x \ln (7)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x (\ln (7))} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 5

$\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$ に $\frac{\ln (7)}{\ln (7)}$ をかけます。

$\frac{\ln (7)}{\ln (7)} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

まとめる。

$\frac{\ln (7) (\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 6.3

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 7

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) (4 x^{3}))}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 8

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- 4 \log_{7} (x) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \log_{7} (x)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 9.1.2

$x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{\ln (7) x^{8}}$

ステップ 9.2

項を並べ替えます。

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

ステップ 9.3

$x^{3}$ を $x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ で因数分解します。

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ステップ 9.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{3} \cdot 1 - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

ステップ 9.3.2

$x^{3}$ を $- x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

ステップ 9.3.3

$x^{3}$ を $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

ステップ 9.4

$4$ を対数の外に移動させて、 $\log_{7} (x^{4})$ を展開します。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{8} \ln (7)}$

ステップ 9.5

共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

$x^{3}$ を $x^{8} \ln (7)$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

ステップ 9.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x))}{x^{5} \ln (7)}$

ステップ 9.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - 4 \ln (7) \log_{7} (x)}{x^{5} \ln (7)}$

微分積分 例

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