微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

ステップ 1

$\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ を ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 4 x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} + 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} + 4$ で置き換えます。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $4 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

ステップ 3.6.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

ステップ 4.2.3

$x$ と $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$4$ を $4 x^{2} + 4$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

$4$ を $4 (x^{2}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

ステップ 4.3.2

積の法則を $4 (x^{2} + 1)$ に当てはめます。

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$8$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

$8$ を $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

ステップ 4.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

ステップ 4.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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