微分積分例

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 1}{2 e^{x} + 1}$

ステップ 1

$f (x) = 2 e^{x} - 1$ および $g (x) = 2 e^{x} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1] - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + 0) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x}) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$2$ を $2 e^{x} + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $2 e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 (2 e^{x}) + 2 \cdot 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} + (- 2 (2 e^{x}) - 2 \cdot - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.5.1.1

$2 (2 e^{x}) e^{x}$ から $2 (2 e^{x}) e^{x}$ を引きます。

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} + 0 - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.1.2

$2 \cdot 1 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 e^{x} + 2 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.3

$2 e^{x}$ と $2 e^{x}$ をたし算します。

$\frac{4 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例