微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}}{t}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.3

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.4

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - \sqrt{lim_{t \to 0} 1 - t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.6

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - \sqrt{lim_{t \to 0} 1 - lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.7

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t} - \sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.8

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.8.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.9.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.9.1.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.9.1.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.9.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.9.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.3

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{1 + t} - \sqrt{1 - t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d t} [\sqrt{1 + t}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + t}$ を ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 1 + t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + t$ とします。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + t$ で置き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $1 + t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.11

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.13

$\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d t} [- \sqrt{1 - t}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - t}$ を ${(1 - t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 1 - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - t$ とします。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 - t])}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t])}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - t$ で置き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t])}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.4

総和則では、 $1 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.5

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.6

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.14

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.15

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.16

$\frac{{(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.17

$- 1$ を ${(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.18

$- 1 {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.20

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.21

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4.22

$\frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 + t}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 {(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4.2

${(1 - t)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 - t}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}}{1}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.3

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.4

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.6

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.7

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.8

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.9

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.10

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{1 - t}}$

ステップ 2.11

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 - t}}$

ステップ 2.12

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 1 - lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 2.13

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 4.1.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 4.1.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 4.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 4.1.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 4.1.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.5

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 4.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.1.6

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 1}{2}$

ステップ 4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{2}$

ステップ 4.4

$2$ を $2$ で割ります。

$1$

微分積分 例

微分積分例