微分積分例

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$t$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

ステップ 1.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$t$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$t$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

ステップ 1.1.3.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{t \to 1} t}}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}} = lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d t} [- t]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $1 - \sqrt{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.8.2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.8.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}$

ステップ 1.3.8.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

ステップ 1.3.8.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

ステップ 1.3.8.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

ステップ 1.3.8.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.8.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}$

ステップ 1.3.8.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}$

ステップ 1.3.8.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}$

ステップ 1.3.8.9

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 1.3.8.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.3.9

$0$ から $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{t \to 1} - - (2 t^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.5

$t^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{t}$ に書き換えます。

$lim_{t \to 1} - - (2 \sqrt{t})$

ステップ 1.6

因数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to 1} - (- 2 \sqrt{t})$

ステップ 1.6.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to 1} 2 \sqrt{t}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{t \to 1} \sqrt{t}$

ステップ 2.2

根号の下に極限を移動させます。

$2 \sqrt{lim_{t \to 1} t}$

ステップ 3

$t$ を $1$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$2 \sqrt{1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

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