微分積分例

$f (x) = | x^{2} - 9 |$

ステップ 1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 9$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 9$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

ステップ 2.3

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

ステップ 2.4.2

$2$ と $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

ステップ 2.4.3

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

ステップ 3.3.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

微分積分 例

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