微分積分例

$f (x) = e^{\sqrt{5 x + 2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x + 2}$ を ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 5 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x + 2$ とします。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x + 2$ で置き換えます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

ステップ 9

総和則では、 $5 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 10

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 12

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 13

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

ステップ 14.2

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

$5$ を $e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ の左に移動させます。

$\frac{5 e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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