微分積分例

$f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{1}{x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{1}{x^{2}}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + 0)$

ステップ 3.6.2

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 \frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 4.2.2

$e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}} \cdot 2}{x^{3}}$

ステップ 4.2.3

$2$ を $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$

微分積分 例

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