微分積分例

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

ステップ 1

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.3.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

ステップ 2.1.4

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ および $g (x) = 2 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

総和則では、 $2 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5.4

$2$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

ステップ 2.1.5.8

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.5.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.5.10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.5.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.5.12

$2$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.5.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

ステップ 2.1.5.14

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

ステップ 2.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$1$ を $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1.1

$1$ を $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ で因数分解します。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

ステップ 2.1.6.1.2

$1$ を $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ で因数分解します。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

ステップ 2.1.6.1.3

$1$ を $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ で因数分解します。

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

ステップ 2.1.6.2

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

ステップ 2.1.6.3

項を並べ替えます。

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ を展開します。

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.2.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.3.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.2.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.2.5.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.6

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.2.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.3

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.4

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.5

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.5.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.5.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.5.3

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.6.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.6.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.7

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

ステップ 2.1.6.4.6.1.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

ステップ 2.1.6.4.6.2

$4 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

ステップ 2.1.6.5

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.5.1

$- 2 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

ステップ 2.1.6.5.2

$2 x + 2 - 2 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

ステップ 2.1.6.6

$2 x$ と $4 x$ をたし算します。

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

ステップ 2.1.6.7

$- 2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $2 - 4 x^{3} + 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 2.2.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$0 - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

ステップ 2.2.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$0 - 12 x^{2} + 6$

ステップ 2.2.4

$0$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 12 x^{2} + 6$ です。

$- 12 x^{2} + 6$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{2} + 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{2} + 6 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- 12 x^{2} = - 6$

ステップ 3.3

$- 12 x^{2} = - 6$ の各項を $- 12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 12 x^{2} = - 6$ の各項を $- 12$ で割ります。

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 6}{- 12}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 6$ と $- 12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$- 6$ を $- 6$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{- 6 (1)}{- 12}$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

$- 6$ を $- 12$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ を $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {((\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ を $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.1.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.1.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.2.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.5

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.4.2

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.5.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.1.2.5.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 4.1.2.5.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 4.1.2.5.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 4.1.2.5.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 4.1.2.5.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 4.1.2.5.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

ステップ 4.1.2.5.3.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

ステップ 4.1.2.5.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{4})$

ステップ 4.1.2.5.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

ステップ 4.1.2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 4.1.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 4.1.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.6.2

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.7

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.2

$2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.2.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.3.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.3.1.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.8.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.9

$\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{4} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.11

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

ステップ 4.1.2.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2 + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

ステップ 4.1.2.12.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

ステップ 4.1.2.12.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

ステップ 4.1.2.12.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

ステップ 4.1.2.12.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

ステップ 4.1.2.12.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.12.7

$6 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{8 - 3 + 4 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.12.8

$8$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.1.2.13

最終的な答えは $\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$ です。

$\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ で代入して $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 求めた点は、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

ステップ 4.3

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ を $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {((- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

${(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ を $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.1.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.1.3

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.1.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.1.5

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.1.8

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.2.5

指数を求めます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.3.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ から $\frac{\sqrt{2}}{2}$ を引きます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4.1.1.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 1 \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4.1.2

$- 1 \sqrt{2}$ を $- \sqrt{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.1.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

ステップ 4.3.2.4.2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.2.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}))$

ステップ 4.3.2.4.2.2.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

ステップ 4.3.2.4.2.3

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.3.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 4.3.2.4.2.3.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.3.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

ステップ 4.3.2.4.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 4.3.2.4.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 4.3.2.4.2.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 4.3.2.4.2.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 4.3.2.4.2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 4.3.2.4.2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 4.3.2.4.2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 4.3.2.4.2.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

ステップ 4.3.2.4.2.5.5

指数を求めます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

ステップ 4.3.2.4.2.6

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{4})$

ステップ 4.3.2.4.2.7

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.7.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

ステップ 4.3.2.4.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 4.3.2.4.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

ステップ 4.3.2.4.2.7.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2} - \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.5.3

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1.1

$\frac{3}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.2

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.3

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.3.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.3.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.4.5

指数を求めます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.5

$- \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + 1 \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.5.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

ステップ 4.3.2.6.1.5.3

$\sqrt{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.6.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2$

ステップ 4.3.2.6.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.3.2.6.4

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.3.2.6.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.3.2.6.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.6.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 8}{4}$

ステップ 4.3.2.6.6.2

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.3.2.7

$- 3 \sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.3.2.8

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.8.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.3.2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.3.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.3.2.8.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{1} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.3.2.8.2.4

$- \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.3.2.9

最終的な答えは $- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$ です。

$- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

ステップ 4.4

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ で代入して $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 求めた点は、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.80710678$ で置換えます。

$f'' (- 0.80710678) = - 12 {(- 0.80710678)}^{2} + 6$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

ステップ 6.2.1.2

$- 12$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (- 0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

ステップ 6.2.2

$- 7.81705627$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 0.80710678) = - 1.81705627$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1.81705627$ です。

$- 1.81705627$

ステップ 6.3

$- 0.80710678$ で二次導関数は $- 1.81705627$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 6$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 6$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 6$

ステップ 7.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$f'' (0) = 6$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $6$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ で増加

ステップ 8

区間 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.80710678$ で置換えます。

$f'' (0.80710678) = - 12 {(0.80710678)}^{2} + 6$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.80710678$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

ステップ 8.2.1.2

$- 12$ に $0.65142135$ をかけます。

$f'' (0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

ステップ 8.2.2

$- 7.81705627$ と $6$ をたし算します。

$f'' (0.80710678) = - 1.81705627$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 1.81705627$ です。

$- 1.81705627$

ステップ 8.3

$0.80710678$ で二次導関数は $- 1.81705627$ です。これは負の値なので、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ です。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例