微分積分例

$f (x) = \frac{8}{\sqrt{4 - x}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x}$ を ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$8 \frac{d}{d x} [{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.3.2

${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x$ とします。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 8

${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$8 (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$8 (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 9.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ と $- 8$ をまとめます。

$\frac{- 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 11

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

ステップ 14

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 15

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 16

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 17

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 18

掛け算します。

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ステップ 18.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 18.2

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

ステップ 20

式を簡約します。

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ステップ 20.1

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 20.2

項を並べ替えます。

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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