微分積分例

$f (x) = \frac{7 t}{t^{2} + 1}$

ステップ 1

$7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{7 t}{t^{2} + 1}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$ です。

$7 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = t^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$t^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$7 \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

$t$ を $1$ 乗します。

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$t$ を $1$ 乗します。

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 8

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$7 \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 9

$7$ と $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{7 (- t^{2} + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (- t^{2}) + 7 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{- 7 t^{2} + 7 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 10.2.2

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 7 t^{2} + 7}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例