微分積分例

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

ステップ 1.1.2

$x \frac{2 x}{1 + x}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ と $\frac{2 x}{1 + x}$ をまとめます。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

ステップ 1.1.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

ステップ 1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

ステップ 1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} (1 + x)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

ステップ 3.2.1.2

0を加えて簡約します。

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

ステップ 3.2.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

ステップ 3.2.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.5.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.2.1.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

ステップ 3.2.1.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

ステップ 3.2.1.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

ステップ 3.2.2

$(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

ステップ 3.2.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$2 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

ステップ 3.2.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

ステップ 3.2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.2.2.2.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

ステップ 3.2.2.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

ステップ 3.2.2.2.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

ステップ 3.2.2.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

ステップ 3.2.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.3.1

方程式の両辺から $2 x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

ステップ 3.2.3.2

方程式の両辺に $2 x^{3}$ を足します。

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

ステップ 3.2.3.3

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

ステップ 3.2.3.4

$x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

ステップ 3.2.4

$x^{2}$ を $3 x^{3} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.4.1

$x^{2}$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

ステップ 3.2.4.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.2.4.3

$x^{2}$ を $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

ステップ 3.2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

ステップ 3.2.6

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.6.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2.6.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.2.7

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.7.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 3.2.7.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.7.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 3.2.7.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.8

最終解は $x^{2} (3 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1}{3}$

ステップ 4

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1}{3}$

10進法形式：

$x = 0.\overline{3}$

微分積分 例

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