微分積分例

$f (x) = \frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $3 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ をたし算します。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6

掛け算します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 7

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 8

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 11

$2$ と $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 \cos (x)) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.3.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.1.2

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 12.3.1.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.2

$2$ を $2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.3

$2$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.4

$2$ を $2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 \cos (x) + 2}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.4

項を並べ替えます。

$\frac{2 + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.5

$2$ を $2 + 6 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 12.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1) + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.5.2

$2$ を $6 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1) + 2 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 12.5.3

$2$ を $2 (1) + 2 (3 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

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