微分積分例

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.2

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.4

$40$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $32$ の極限値を求めます。

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $- 4$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.7.1.2

$8$ に $16$ をかけます。

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.7.1.3

$40$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.7.2

$128$ から $160$ を引きます。

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.2.7.3

$- 32$ と $32$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 4 + 4}$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $8 x^{2} + 40 x + 32$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [40 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$40$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $40 x$ の微分係数は $40 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.4.3

$40$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.5

$32$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $32$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.6

$16 x + 40$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

ステップ 1.3.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

ステップ 1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

ステップ 1.4

$16 x + 40$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $- 4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

ステップ 2.2

$16$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

ステップ 2.3

$x$ が $- 4$ に近づくと定数である $40$ の極限値を求めます。

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

ステップ 3

$x$ を $- 4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$16 \cdot - 4 + 40$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$16$ に $- 4$ をかけます。

$- 64 + 40$

ステップ 4.2

$- 64$ と $40$ をたし算します。

$- 24$

微分積分 例

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