微分積分例

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$

ステップ 1

総和則では、 $2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x^{2} + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ です。

$4 x + 7 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

ステップ 4.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$4 x + 7 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 4.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$4 x + 7 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 4.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

ステップ 4.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

ステップ 4.7

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$4 x + 7 - (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

ステップ 4.8

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$4 x + 7 - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 5

項をまとめます。

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ステップ 5.1

$4 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{4 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 7$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + 7$

ステップ 5.3

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x + 7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例