微分積分例

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3 e^{x}$

ステップ 1

総和則では、 $2 \sqrt{x} + 3 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.10

$2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.12

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 2.13

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 e^{x}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$3 e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例