微分積分例

$z = (4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1})$

ステップ 2

$t$ に関する $z$ の微分係数は $z'$ です。

$z'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (t) = 4 - t$ および $g (t) = {(9 + t^{2})}^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 - t) \frac{d}{d t} [{(9 + t^{2})}^{- 1}] + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 9 + t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 + t^{2}$ とします。

$(4 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $9 + t^{2}$ で置き換えます。

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $9 + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.3.2

$9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ をたし算します。

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

ステップ 3.3.6

総和則では、 $4 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.3.7

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.3.8

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t]$ をたし算します。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 3.3.9

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

ステップ 3.3.11.2

$- 1$ を ${(9 + t^{2})}^{- 1}$ の左に移動させます。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(9 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 3.3.11.3

$- 1 {(9 + t^{2})}^{- 1}$ を $- {(9 + t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 3.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$(4 - t) (\frac{- 2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$(4 - t) (- \frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.3

$t$ と $\frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$(4 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.4

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$(4 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.5

$(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ を掛けます。

$(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.6

$(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ と $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ をまとめます。

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2})}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2}) - 1}{9 + t^{2}}$

ステップ 3.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$- 1$ を $- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1.1

$4$ と $- t$ を並べ替えます。

$\frac{- (- t + 4) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.1.1.2

$9$ と $t^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.1.1.3

$9$ と $t^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.1.2

$- 1$ を $- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.1.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.1.4

$- 1$ を $- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.2

$t^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.1

$t^{2} + 9$ を $(- t + 4) (t^{2} + 9)$ で因数分解します。

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.2.2

$t^{2} + 9$ を ${(t^{2} + 9)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- ((- t + 4) \frac{2 t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.3

$- t + 4$ に $\frac{2 t}{t^{2} + 9}$ をかけます。

$\frac{- (\frac{(- t + 4) (2 t)}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.4

$2$ を $- t + 4$ の左に移動させます。

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- (\frac{2 (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9})}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{2 (- t + 4) t + t^{2} + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.7

項を並べ替えます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8

因数分解した形で $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.4.1

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.4.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.4.1.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.5

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.6

群による因数分解。

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ステップ 3.4.5.8.6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.4.5.8.6.1.1

$8$ を $8 t$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 (t) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.6.1.2

$8$ を $- 1$ プラス $9$ に書き換える

$\frac{- \frac{- t^{2} + (- 1 + 9) t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- \frac{- t^{2} - 1 t + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{- \frac{(- t^{2} - 1 t) + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{- \frac{t (- t - 1) - 9 (- t - 1)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.5.8.6.3

最大公約数 $- t - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$

ステップ 3.4.7

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{1}{t^{2} + 9}$ に $\frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}$ をかけます。

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

ステップ 3.4.7.2

$t^{2} + 9$ を $1$ 乗します。

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} (t^{2} + 9)}$

ステップ 3.4.7.3

$t^{2} + 9$ を $1$ 乗します。

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} {(t^{2} + 9)}^{1}}$

ステップ 3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.4.8

$- 1$ を $- t$ で因数分解します。

$- \frac{(- (t) - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.4.9

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- \frac{(- (t) - 1 (1)) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.4.10

$- 1$ を $- (t) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{- (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.4.11

$- (t + 1)$ を $- 1 (t + 1)$ に書き換えます。

$- \frac{- 1 (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.4.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 3.4.14

$\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z' = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5

$z'$ を $\frac{d z}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例