微分積分例

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

ステップ 1

総和則では、 $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ です。

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

ステップ 3.2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

ステップ 3.2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x \ln (x)$ とします。

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 3.4

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

ステップ 3.7

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

ステップ 3.8

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

共通因数を約分します。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

ステップ 3.8.2

式を書き換えます。

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

ステップ 3.9

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$

微分積分 例

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