微分積分例

$f (x) = 5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{5}] + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 1$ とします。

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 1$ で置き換えます。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4.2

$4$ に $5$ をかけます。

$5 (x (20 {(x^{4} + 1)}^{4} x^{3}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$5 (x^{3} x^{1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 (x^{3 + 1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

$3$ と $1$ をたし算します。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \cdot 1)$

ステップ 9

${(x^{4} + 1)}^{5}$ に $1$ をかけます。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

ステップ 10.2

$20$ に $5$ をかけます。

$100 (x^{4} ({(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

ステップ 10.3

$5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ を $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4} + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 10.3.1

$5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ を $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

ステップ 10.3.2

$5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ を $5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ で因数分解します。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$

ステップ 10.3.3

$5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ を $5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$ で因数分解します。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4} + x^{4} + 1)$

ステップ 10.4

$20 x^{4}$ と $x^{4}$ をたし算します。

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (21 x^{4} + 1)$

微分積分 例

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